Dans une grande casserole, placez la poule et couvrez-la d'eau. Ajoutez les carottes, l'oignon, le céleri, le bouquet garni, le sel et le poivre. Portez à ébullition, puis réduisez le feu et laissez mijoter pendant environ 1 heure ou jusqu'à ce que la poule soit bien cuite.

Retirez la poule de la casserole et laissez-la refroidir légèrement. Filtrez le bouillon et réservez-le.

Pour préparer la sauce poulette, faites fondre le beurre dans une casserole à feu moyen. Ajoutez la farine et mélangez bien pendant environ 2 minutes pour former un roux.

Incorporez progressivement le bouillon de volaille tout en fouettant pour éviter les grumeaux. Laissez mijoter pendant 5 à 10 minutes jusqu'à ce que la sauce épaississe.

Dans un bol, mélangez les jaunes d'œufs avec la crème fraîche et le jus de citron. Incorporez ce mélange à la sauce en remuant constamment pour éviter que les œufs ne coagulent. Assaisonnez avec du sel et du poivre.

Découpez la poule en morceaux et servez-la nappée de sauce poulette, garnie de persil frais haché.